Đại số 9 – Chuyên đề 1 – Căn bậc hai & Hằng đẳng thức

A– LÝ THUYẾT

I . Căn bậc hai:

1. CĂN BẬC HAI của số thực a là số x sao cho x2 = a.

– Số thực a dương: có đúng hai căn bậc hai là số đối nhau: số dương kí hiệu là $ displaystyle sqrt{a}$ và số âm kí hiệu là $ displaystyle -sqrt{a}$.

– Số 0: có đúng 1 căn bậc hai là chính số 0, ta viết $ displaystyle sqrt{0}=0$

– Số thực a âm: không có căn bậc hai, khi đó ta nói biểu thức $ displaystyle sqrt{a}$ không có nghĩa hay không xác định.

2. CĂN BÂC HAI SỐ HỌC của số thực a là số không âm x mà x2 = a.

Với a ≥ 0, ta có:

– Số x là căn bậc hai số học của a thì x = $ displaystyle sqrt{a}$

$ displaystyle x=sqrt{a}Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 0{{x}^{2}}={{left( sqrt{a} right)}^{2}}=aend{array} right.$

– $ displaystyle sqrt{a}ge 0$ và $ displaystyle {{(sqrt{a})}^{2}}=a$

3. Với a, b là các số dương, ta có:

a) Nếu a < b thì $ displaystyle sqrt{a}<sqrt{b}$

b) Nếu $ displaystyle sqrt{a}<sqrt{b}$ thì a < b.

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: Phân biệt căn bậc haicăn bậc hai số học

Bài tập 1: Tìm câu đúng trong các câu sau:

   a) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9;

b) Căn bậc hai của 0,81 là 0,09;

c) Căn bậc hai của 0,81 là 0,9 và –0,9;

   d) $ displaystyle sqrt{0,81}=0,9$

e) $ displaystyle sqrt{0,81}=pm 0,9$

Bài tập 2: Tìm câu đúng trong các câu sau:

a)       Số 3 không có căn bậc hai.

b)       Căn bậc hai của 3 là $ displaystyle sqrt{3}$

c)       Căn bậc hai của 3 là $ displaystyle sqrt{3}$ và $ displaystyle -sqrt{3}$

d)       Căn bậc hai số học của 3 là $ displaystyle sqrt{3}$

e)       Căn bậc hai số học của 3 là $ displaystyle sqrt{3}$ và $ displaystyle -sqrt{3}$

  Công thức nghiệm của phương trình bậc hai ax^2+bx+c=0 (a ≠ 0)

Bài tập 3: Tìm các căn bậc hai số học của các số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng:

16;        25;        144;        0,09;        225;        $ displaystyle frac{9}{16}$;        121;        10 000;        0,01.

DẠNG 2: Chứng minh căn một số là số vô tỉ

Bài tập 3: Chứng minh $ displaystyle sqrt{5}$ là số vô tỉ.

Giải:

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Giả sử $ displaystyle sqrt{5}$ là số hữu tỉ.

Như vậy $ displaystyle sqrt{5}$ có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $ displaystyle frac{text{m}}{text{n}}$, tức là $ displaystyle sqrt{5}=frac{text{m}}{text{n}}$.

Suy ra $ displaystyle {{(sqrt{5})}^{2}}={{left( frac{text{m}}{text{n}} right)}^{2}}$ hay 5n2 = m2               (1).

Đẳng thức này chứng tỏ m2 $ displaystyle vdots $ 5, mà 5 là số nguyên tố nên m $ displaystyle vdots $ 5.

Đặt m = 5k (k $ displaystyle in mathbb{Z}$), ta có m2 = 25k2             (2).

Từ (1) và (2) suy ra 5n2 = 25k2 nên n2 = 5k2 (3).

Từ (3) ta lại có n2 $ displaystyle vdots $ 5 mà 5 là số nguyên tố nên n $ displaystyle vdots $ 5.

m và n cùng chia hết cho 5 nên phân số $ displaystyle frac{text{m}}{text{n}}$ không tối giản, trái với giả thiết.

Vậy $ displaystyle sqrt{5}$ không phải là số hữu tỉ, do đó $ displaystyle sqrt{5}$ là số vô tỉ.

Bài tập 4: Chứng minh rằng:

a)       $ displaystyle sqrt{3}$ là số vô tỉ

b)       $ displaystyle sqrt{7}$ là số vô tỉ

c)       $ displaystyle sqrt{3}+1$ là số vô tỉ

d)       $ displaystyle sqrt{1+sqrt{2}}$ là số vô tỉ

DẠNG 3: Giải phương trình, bất phương trình chứa căn

Bài tập 5: Giải phương trình:

Chú ý phương trình dạng: $ displaystyle sqrt{a}=xLeftrightarrow left{ begin{array}{l}xge 0{{x}^{2}}={{left( sqrt{a} right)}^{2}}=aend{array} right.$

  Lưu ý: Nếu x < 0 Þ phương trình vô nghiệm

a)       $ displaystyle sqrt{x}=15$

b)       $ displaystyle sqrt{x}-1=3$

c)       $ displaystyle 2sqrt{x}=14$

d)       $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+1}=2$

e)       $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+5x+20}=4$

f)        $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+3}=-1$

Bài tập 6: Tìm x không âm, biết:

a)       $ displaystyle sqrt{x}<sqrt{4}$ b)       $ displaystyle sqrt{2x}<4$

DẠNG 4: So sánh các số có căn

Bài tập 7: So sánh hai số:

a)       $ displaystyle 2sqrt{3}$ và $ displaystyle 3sqrt{2}$

b)       $ displaystyle 6sqrt{5}$ và $ displaystyle 5sqrt{6}$

c)       $ displaystyle 3sqrt{26}$ và 15

d)       $ displaystyle -5sqrt{35}$ và –30

  30 Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 6

Bài tập 8: So sánh hai số:

a)       $ displaystyle sqrt{7}+sqrt{15}$ với 7

b)       $ displaystyle sqrt{24}+sqrt{45}$ với 12

c)       $ displaystyle sqrt{2}+sqrt{11}$ với $ displaystyle sqrt{3}+5$

d)       $ displaystyle sqrt{37}-sqrt{15}$ với 2

Bài tập 9: So sánh hai số:

a)       $ displaystyle sqrt{8}+sqrt{15}$ với $ displaystyle sqrt{65}-1$ b)       $ displaystyle frac{13-2sqrt{3}}{6}$ và $ displaystyle sqrt{2}$

Bài tập 10: So sánh các số:

a)       $ displaystyle frac{30+2sqrt{45}}{4}$ và 12 b)       $ displaystyle sqrt{5sqrt{3}}$ với $ displaystyle sqrt{3sqrt{5}}$

Hướng dẫn và đáp số:

Bài tập 1: Câu c) d) đúng

Bài tập 2: Câu c) d) đúng

Bài tập 4:   

a) b) Chứng minh tương tự bài 3

c) Giả sử $ displaystyle sqrt{3}+1$ là một số hữu tỉ. Đặt $ displaystyle sqrt{3}+1=x$ (x $ displaystyle in mathbb{Q}$), ta có:

$ displaystyle {{left( sqrt{3}+1 right)}^{2}}={{x}^{2}}Leftrightarrow 3+2sqrt{3}+1={{x}^{2}}Leftrightarrow sqrt{3}=frac{{{x}^{2}}-4}{2}$

Vì x là số hữu tỉ nên x2 – 4 là số hữu tỉ, do đó $ displaystyle frac{{{x}^{2}}-4}{2}$ là số hữu tỉ.

Như vậy $ displaystyle sqrt{3}$ là số hữu tỉ, điều này vô lý. Vậy $ displaystyle sqrt{3}+1$ là số vô tỉ.

d) Giả sử $ displaystyle sqrt{1+sqrt{2}}$ = m (m là số hữu tỉ) thì $ displaystyle sqrt{2}$ = m2 – 1 nên $ displaystyle sqrt{2}$ là số hữu tỉ, vô lý.

Bài tập 5: Giải phương trình:

a) $ displaystyle sqrt{x}-1=3$

$ displaystyle Leftrightarrow sqrt{x}=3+1=4$

$ displaystyle Leftrightarrow x={{4}^{2}}=16$

Vậy …

b) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+1}=2$

$ displaystyle Leftrightarrow {{x}^{2}}+1={{2}^{2}}=4$

$ displaystyle Leftrightarrow {{x}^{2}}=4-1=3$

$ displaystyle Leftrightarrow x=sqrt{3}$

Vậy …

 c) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+5x+20}=4$

$ displaystyle Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+20={{4}^{2}}=16$

$ displaystyle Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+4=0$

$ displaystyle Leftrightarrow (x+1)(x+4)=0$

$ displaystyle Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-1x=-4end{array} right.$

Vậy …

d) $ displaystyle sqrt{{{x}^{2}}+3}=-1$

Do –1 < 0 nên phương trình vô nghiệm

Bài tập 7: So sánh hai số:

a) $ displaystyle 2sqrt{3}$ và $ displaystyle 3sqrt{2}$

Có: $ displaystyle {{left( 2sqrt{3} right)}^{2}}={{2}^{2}}.{{left( sqrt{3} right)}^{2}}=4.3=12$;             $ displaystyle {{left( 3sqrt{2} right)}^{2}}={{3}^{2}}.{{left( sqrt{2} right)}^{2}}=9.2=18$

Do 12 < 18 nên $ displaystyle {{left( 2sqrt{3} right)}^{2}}$ < $ displaystyle {{left( 3sqrt{2} right)}^{2}}$ hay $ displaystyle 2sqrt{3}$ < $ displaystyle 3sqrt{2}$

b) $ displaystyle 6sqrt{5}$ và $ displaystyle 5sqrt{6}$

Có: $ displaystyle {{left( 6sqrt{5} right)}^{2}}={{6}^{2}}.{{left( sqrt{5} right)}^{2}}=36.5=180$;             $ displaystyle {{left( 5sqrt{6} right)}^{2}}={{5}^{2}}.{{left( sqrt{6} right)}^{2}}=25.6=150$

Do 180 > 150 nên $ displaystyle {{left( 6sqrt{5} right)}^{2}}$ > $ displaystyle {{left( 5sqrt{6} right)}^{2}}$ hay $ displaystyle 6sqrt{5}$ > $ displaystyle 5sqrt{6}$

  Đề tham khảo môn Toán thi THPT quốc gia 2018

c) $ displaystyle 3sqrt{26}$ và 15

Ta có 15 = 3.5, nên ta đi so sánh: $ displaystyle sqrt{26}$ và 5

Bài tập 8: So sánh hai số:

$ displaystyle sqrt{37}-sqrt{15}$ với 2

Có: $ displaystyle 37>36Rightarrow sqrt{37}>sqrt{36}$;

$ displaystyle sqrt{15}<sqrt{16}Rightarrow -sqrt{15}>-sqrt{16}$

Nên $ displaystyle sqrt{37}-sqrt{15}>sqrt{36}-sqrt{16}=6-4=2$

Bài tập 9: So sánh hai số:

$ displaystyle frac{13-2sqrt{3}}{6}>frac{13-2sqrt{4}}{6}=1,5$

Mặt khác: (1,5)2 = 2,25;     $ displaystyle {{left( sqrt{2} right)}^{2}}=2$

Suy ra: 1,5 > $ displaystyle sqrt{2}$, do đó: $ displaystyle frac{13-2sqrt{3}}{6}>sqrt{2}$

Facebook

trung tam gia su uy tin

Leave a Reply

Call Now Button